设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1 分别是两个向量组的极大无关组则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示.所以存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)KK为t1行s1列矩阵.假如 t1<s1则齐次线性方程组 Kx=0 有非零解x0所以 (α1,α2,...,αs1)x0=(β1,β2,...,βt1)Kx0=0即x0是齐次线性方程组(α1,α2,...,αs1)x=0的非零解所以α1,α2,...,αs1线性相关, 矛盾.所以 s1<=t1.即有 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)
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