下面的证明中以 ' 表示转置.充分性: 假设存在一个n阶实矩阵B，使得AB+B'A正定. 则对于任意的非零向量x，x'(AB+B'A)x＞0恒成立.整理得:(Ax)'Bx+(Bx)'Ax＞0.所以，对于任意的非零向量x，Ax≠0恒成立.所以Ax=0只有零解，得R(A)=n 必要性: 设R(A)=n，取B为A的逆矩阵:B=A^(-1)，则AB+B'A=2I，所以AB+B'A正定
考研数学线代部分考不考证明题呀》
下面的证明中以 ' 表示转置.充分性: 假设存在一个n阶实矩阵B，使得AB+B'A正定. 则对于任意的非零向量x，x'(AB+B'A)x＞0恒成立.整理得:(Ax)'Bx+(Bx)'Ax＞0.所以，对于任意的非零向量x，Ax≠0恒成立.所以Ax=0只有零解，得R(A)=n 必要性: 设R(A)=n，取B为A的逆矩阵:B=A^(-1)，则AB+B'A=2I，所以AB+B'A正定
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