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对数学系学生说来，以前数学的三大基础课是高等代数，解析几何，数学分析，俗称老三高。
现在则是新三高，近世代数，拓扑学，泛函分析。
你问的就是这基础部分。
点集拓扑学，有时也被称为一般拓扑学，是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
一、点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。
G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。
1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
二、点集拓扑的主要理论内容泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，更促进了把点集当作空间来研究。
数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题。
为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念。
如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系。
1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑。
对一个非空的集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）。
该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域。
这就给出了X的一个拓扑结构。
X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。
X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。
若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。
具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）。
三、研究意义要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。
在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c，d]与[a,b]同胚。
二维球面挖去一个点s2－p与欧几里得平面K2同胚。
要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射。
方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚。
一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等（见拓扑空间）。
在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进。
四、学好拓扑需要注意的1、熟练掌握最基本的定义、定理。
因为证明某个命题，往往是从定义出发去证明的，而且点集拓扑学中出现的定义特别多，又有联系，因而熟记定义是学好拓扑学的关键；2、熟悉拓扑学中常用符号，并能正确书写。
点集拓扑学中符号多而且复杂，掌握常用数学符号的意义是必须的；3、证明某个命题，要证到什么程度才算证完，要心中有数，每一步推理都要有根有据，根据只能是前面的定义、定理，有时也可参考一下集合的文氏图；4、证明时用到的根据切不可将数学分析中的结论想当然地引入，因为数学分析中的实数空间是非常完美的度量（拓扑）空间，既是A1 ,A2的，又是T4的, 而要证的命题不一定具备这样的条件。
