什么是初等函数

这么的直观理解，所有”无穷“出现都会涉及到极限，一个东西取过极限性质可能就变了。

比如有理数构成的序列的极限可能是无理数。

初等函数由于是有限次运算所以不涉及格外的极限运算，函数能有解析表达式。

这种情况下，假如我要知道函数在某个点的值，我代入公式计算就可以直接得到结果。

如果是无限次的话，我把这个点的值代入公式我还要做个极限运算，这个时候人还能根据具体情况求个极限，而计算机的话你让它算无限次那是永远得不到结果了。

同时还有个性质：初等函数在其定义区间内连续。

这个性质也是我们需要的，非常好的性质。

那我下面将通过初等函数无限次运算构造一个在其定义区间内不连续的函数，也就是无限次运算产生了一个非初等函数。

双曲正切这是初等函数，图象是这样样子的：这也是初等函数，图象是这样样子的：可以看出0附近更加抖了一点。

这个函数的图象介于上面两个函数之间。

令，都是初等函数，可以想想图象是越来越陡的。

令，n趋向无穷大，也是就操作无限次。

函数逐点取极限，这是显然的，0点处函数的值永远是0，取极限还是0；0的右边任意位置，只要n足够大就可以足够的接近于1；左边同理。

这这个函数显然是在定义区间内不连续的函数，也就是非初等函数。

exp(x²)原函数无穷次运算的结果，无穷是分可列无穷和不可列无穷。

第一如果是可列次运算的，应该生成的都是可测函数（这个我猜的，不敢确定）。

第二如果是不可列次运算，那肯定可以生成任意函数。

做出在1个点取值为1，其他地方取值为0的函数，那么把这些函数线性叠加起来就可以得到任意函数。

那么exp(x²)原函数显然就是可以有的无穷次运算构成的。

你问怎么运算得到的，具体我没操作过，但有个思路，这个东西是个积分，积分是黎曼和的极限。

黎曼和一个个小方柱的和，就是小方柱的无穷次运算。

小方柱确实不是初等函数，但可以类似我1里面构造函数的方法，用初等函数通过无穷次运算得到这个小方柱。

完毕。

不是初等函数的证明一般是用了Liouville定理，涉及微分域的知识比较高深，至少得学会抽象代数。

我在知乎上看到别人回答过这个，假定定理成立的情况下，证明不是初等函数，这个证明倒是十分简单，学过高数就能看懂。