严格定义是：f（z）在 0<|z－a| ≤R上解析，即a是f（z）的孤立奇点，则称积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数 ，记作Res[f（z），a] 。
如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量，所以留数是环流量除以2πi的值。
由于解析函数在孤立奇点附近可以展成洛朗级数：f（z）=∑ak（z－a）k ，将它沿|z－a|=R逐项积分，立即可见Res[f(z)，a]=a-1 ，这表明留数是解析函数 在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。
