（感谢题主的邀请）搜寻，那青葱岁月在脑海中留下的记忆的碎片... ... 或许大家还依稀的还记得：在三维立体空间中，两个直线L，I相交，如果 L, I 所成角度等于 90°，我们称 L 垂直于 I，记为 L ⊥ I。
那么当 L，I 不相交呢？这难不倒数学家，他们给出了如下定义：当 L，I 不相交时，我们 过 L 上任意一点 x，做 I 的平行线 I'，如果 L, I' 所成角度等于 90° 我们依然称 称 L 垂直于 I，记为 L ⊥ I。
进一步，数学家又定义了：如果 直线 L 和 平面 A 中的 每一条直线都垂直，则称 L 垂直于 A，记为 记为 L ⊥ A。
接着就有了如下定理：设 A 是 平面 或直线，过一点 x 有且只有一条直线 L 与 A 垂直相交，L 与 A 的交点 x₀ 称为 垂足，x 到 x₀ 的直线段距离 |x - x₀| 称为 x 到 A 的距离，对于 A 总任意点 y，则有 |x - x₀| ≤ |x - y|，即，x₀ 是 A 中到 x 点距离最短的点。
以上大家关于高中《立体几何》的集体回忆。
详细可以见，苏教版 数学必修 2 的第1章：立体几何初步，人教版和北师大版也有相关章节（注意：小石头稍微做了些改动）。
所谓的投影定理（projection theorem），就是将上面那个 立体几何版的 “投影定理” 搬到了 Hilbert 空间 中，具体内容如下：投影定理： 设 H 是 Hilbert 空间， G ⊆ H 是子空间，对于任意 x ∈ H，存在唯一的 x₀ ∈ G，使得：并且：我们 称 x₀ 是 x 在 G 上的 投影，‖x - x₀‖ 是 x 到 G 的距离 。
说明：什么是 Hilbert 空间 ？Hilbert 空间 就是 完备的内积空间。
什么是 内积空间？内积空间 就是定义了 内积运算 的 线性空间。
什么是 线性空间？我们中学学过 向量，线性空间就是元素是向量的集合，并且对于向量的 加法 和 数乘运算 封闭。
什么是 内积？内积就是 中学学过 的 向量 x, y 的点乘 x · y 的抽象，只不过我们习惯记为 (x, y) ，内积的值是一个复数，并要求其满足：什么是 完备的？如果 距离空间（也称为 度量空间）中 的 基本列（也叫 Cauchy 列）都是 收敛的，则成 该距离空间 是 完备的。
什么是 距离空间？就是定理了距离 的空间。
什么是 距离？就是 我们 小学平面几何，中的 两点 x，y 之间距离 的 抽象，记为 d(x, y)，距离的值是一个实数，要求满足：既然 ”完备的“ 是 距离空间的 事情 和 那么 为什么一开始说 ：完备的内积空间？因为 可以从 内积 通过 范数 来定义 出 距离，这时的 内积空间 一定是 距离空间。
什么是 范数？范数就是 中学所学 向量x 的长度，即，模 |x| 的抽象，记为 ‖x‖，范数的值是一个实数，要求满足：定义的范数的线性空间，称为 赋范空间。
如何从内积定义出范数，然后从范数定义出距离？ （定义的良性验证这里省略，大家有兴趣可以参考《泛函分析》）投影定理 里的 ‖x - x₀‖ 和 ‖x - y‖ 就是 x 点 分别 到 x₀ 和 y 点的 距离。
什么是子空间？对于 Hilbert 空间 H 子集 G，如果 G 也是一个 Hilbert 空间 ，则 G 是 H 的 子空间。
在 Hilbert空间 H 中，两个 非零向量 x，y 的夹角 定义为：Cauchy 不等式：保证了该定义的良性。
根据这个定义，当 (x, y) = 0 时，∠xy 等于 90°，称 x 和 y 正交（垂直），记为 x ⊥ y。
对于 G ⊆ H 如果 x ∈ H，使得 任意 y ∈ G，都有 x ⊥ y，则称 x 和 G 正交，记为 x ⊥ G。
定理中， G┴ 称为 G 的正交补，定义为：投影定理证明：首先，明确，Hilbert 子空间 G，一定是 完备的凸集。
证明第一部分由于距离函数是连续函数，因此，当 x ∈ H，取定后， ‖x - y‖ : G → R 是也是连续的。
由距离的正定性知： ran(‖x - y‖) 有下界 0，再根据：实数具有下确界性，即，实数的任意非空子集，如果有下界则必然有下确界。
则，‖x - y‖ 的下确界，即，令：则 d 存在。
同理 ‖x - y‖² 的 下确界 就是 d²。
又因为 ‖x - y‖² 也是连续的，所以 存在 序列 {y_k ∈ G} 使得，对于 任意 ε > 0，存在 N 当 k > N 时，有：根据 公式 ①：对于 {y_k} 中的 任意 两点 y_n, y_m，令 a = x - y_m, b = x - y_n，有：因为 G 是 凸集，而 y_n, y_m ∈ G，所以 (y_n + y_m)/2 ∈ G，于是 ‖x - (y_n + y_m)/2‖ ≥ d，进而：对于任意 ε' > 0，令 ε = ε'/4 > 0，于是 当 n, m > N 时，有：这样就证明了 {y_k} 是一个基本列，因为 G 是 完备的，所以 一定存在 极限，令：使得： ‖x - x₀‖² = d²，即，证明唯一性如果，存在 x₁ ∈ G 也满足 ‖x - x₁‖ = d。
令 a = x - x₀, b = x - x₁ 带入 公式① 有：和上面类似地，因为 G 是凸集 x₀,x₁ ∈ G 所以 (x₀ + x₁)/2 ∈ G，于是 ‖x - (x₀ + x₁ )/2‖ ≥ d，进而：故 ‖x₀ - x₁‖ = 0，根据距离的正定性，有 x₀ = x₁，唯一性得证。
证明第二部分任意取 y ∈ G 和 任意 复数 α , 根据 G 的线性封闭性 有 x₀ + αy ∈ G，再根据 ‖x - x₀‖ = d 的最小性，有：再利用 公式 ②：得到：即，注意：由于 α 的任意性，于是可以 令：带入上面不等式，有：注意：要让上面的不等式成立，只能是 (x - x₀, y) = 0，即，x - x₀ ⊥ y。
有因为 y 在 G 中 的任意性，于是得到：x - x₀ ⊥ G，即， x - x₀ ∈ G┴。
投影定理得证。
投影定理是 Hilbert 空间 特有的性质，之后会和 投影算子有关系，但这就扯远了，我们就此打住。
最后，附上 证明中 两个公式的简单推导。
公式 ② 推导：根据公式 ② 有：以上结果，稍作变形就是 公式 ① 了。
（能提出这个问题的人，不能不知道答案 :-) ，以上仅仅是小石头的个人的理解，仅供题主参考。
）（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎题主和各位老师同学批评指正。
）
