解：分享一种解法。
将积分区间[0,2π]拆成[0,π/2)∪[π/2,π)∪[π,3π/2)∪[3π/2,2π)，则 ∫(0,2π)dx/(2+sinx)=∫(0,π/2)dx/(2+sinx)+∫(π/2,π)dx/(2+sinx)+∫(π,3π/2)dx/(2+sinx)+∫(3π/2,2π)dx/(2+sinx)，对后三个积分，分别设x=t+π/2、t+π、t+3π/2，则
∴∫(0,2π)dx/(2+sinx)=4∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]+4∫(0,π/)dx/[4-(cosx)^2]。
而∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]=∫(0,π/2)d(tanx)/[4+3(tanx)^2]=[1/(2√3)]arctan[(2/√3)tanx]丨(x=0,π/2)=π/(4√3)，同理，∫(0,π/2)dx/[4-(cosx)^2]=π/(4√3)，
∴(0,2π)dx/(2+sinx)=2π/(√3)。
【另外，亦可设z=e^(ix)，转换成复变函数，利用留数定理求解，且较“简捷”】供参考。
