什么是研究杠杆平衡的条件?

     实验目的研究杠杆的平衡条件。实验器材：     杠杆和支架，钩码，刻度尺，线。实验步骤 ：1．将杠杆的中点支在支架上，调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。2．在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节钩码悬挂的位置，使杠杆能在水平位置平衡，如图 1-70 所示。把支点右方的钩码重当作动力 F₁，支点左方的钩码重当作阻力 F₂；用刻度尺量出动力臂 l₁ 和阻力臂 l₂；把 F₁、l₁、F₂、l₂ 的数值填入下表。3．改变动力和阻力的大小，仿照上述方法再做两次，将结果填入表中。

实验次数	动力 F1	动力臂 l1	阻力 F2	阻力臂 l2
	（牛）	（厘米）	（牛）	（厘米）
1
2
3

4．分析表中各次实验数据中四个物理量的关系，得到：动力×动力臂＝阻力×阻力臂。理解上述实验要注意以下几点：1．该实验中动力和阻力的确定是相互的，可以互换的。实际生活中杠杆的动力和阻力有时是难以区别的，例如两个小朋友玩翘翘板，就难以区别哪是动力哪是阻力。2．实验中取水平位置为平衡状态，是为了测量力臂方便，因为只有在水平位置时钩码重力方向即钩码拉力方向与杠杆垂直，l₁、l₂ 便为从支点到动力、阻力的垂直距离，即为动力臂和阻力臂。3．杠杆两端螺母的作用是调节杠杆在水平位置平衡，使杠杆的重心在
支点上，消除了杠杆自身重力对实验的影响。若发现杠杆左端向下倾斜，为使杠杆在水平位置平衡，应将该端螺母调节向右，反之，将螺母调节向左。杠杆调好后，在实验操作过程中不能再作调节。用例一：     利用杠杆平衡条件来纠正实验中的错误。题 1 某同学如图 1-71 那样做实验，调节左边钩码的个数和悬挂位置，使杠杆平衡，读出弹簧秤的示数 F₁，钩码重 F₂，量出由支点到这两个力的作用点的距离 OA、OB，他将所得数据直接代入杠杆的平衡条件数学式中，发现 F₁·OA 和 F₂·OB 两者并不相等，为什么？因为弹簧秤的拉力 F₁ 的力臂不是 OA，应该是从支点 O 到拉力 F₁ 的垂直距离，该距离小于 OA，所以F₁·OA＞F₂·OB。正确操作可以改为：（1）保持 F₁ 方向不变，正确量出 F₁ 的力臂；（2）或者为了测量力臂的方便，可将弹簧秤拉力方向改为竖直向下。题 2 某同学按照题 1 中后一种修改方法重做实验，如图 1-72 所示，将弹簧秤竖直放置使用，力的读数准确，力臂测量也正确，实验结果仍不理想，原因何在？原因在于弹簧秤的使用不当。图示使用方法中弹簧秤的读数 F₁ 表示人手拉力的大小，F₁ 小于弹簧秤对杠杆的拉力，所以有 F₁·OA＜F₂·OB。在这里正确使用弹簧秤的方法应该将图示弹簧秤上下倒过来，把承挂重物的挂钩挂在杠杆右侧作用点 A 上，便可改正错误。因为如图示方法使用弹簧秤，弹簧秤对杠杆的拉力 F’还应考虑弹簧秤自身的重力 G，其关系有 F’＝F₁＋G，杠杆平衡的条件应满足（F₁＋G）·OA＝F₂·OB。用例二：     用杠杆平衡条件定量解决一些杠杆问题。题 3 用道钉撬来撬铁路枕木上的道钉，如图 1-73 所示，当加在道钉撬上竖直向下的力为 200 牛时，道钉刚好被撬动，求道钉对道钉撬的阻力。题中所讲“道钉刚好被撬起”是指阻力、动力作用在道钉撬上刚好使道钉撬处于如图所示的平衡状态，可用杠杆平衡公式求解。数据代入公式前应先将单位统一。从图示看出，动力臂 l₁＝1.2 米，阻力臂 l₂＝6 厘米＝0.06 米，根据杠杆平衡条件 F₁l₁＝F₂l₂ 得道钉对撬的阻力为F ＝ ^l1 F ＝ ^12.米 ×200牛＝4000牛。₂       l_{2  1}       0.06米若道钉对撬的阻力达 4500 牛，仍用 200 牛的动力作用在撬的同一点上，能否将道钉撬起？阻力增大，而动力的作用点不变，可采用增加动力臂的长度的办法。当动力方向垂直于撬向下作用时，即取动力臂l₁＝1.2 米/cos30°＝1.4 米，此时能克服的最大阻力

F ＝	l1	F	=	1.4米	×200牛＝4666.7牛，
	l2
2		1		0 .06

该值大于 4500 牛，所以能将道钉撬起。题 4   有一轮子直径 D 为 60 厘米，重 100 牛，停在高 h 为 12 厘米的
台阶前，如图 1-74，要使轮子越过台阶，对轮子中心轴至少要加多大的拉力？轮子在拉力作用下克服重力作用滚上台阶，可将轮看成以轮与台阶接触点 P 为支点的变形杠杆，O 既是动力作用点，也是阻力作用点。只有当动力的方向与 OP 垂直时，动力的力臂才最大，根据杠杆平衡条件，此时动力值为最小。取拉力 F 垂直于 OP 时，动力臂l₁ ＝OP＝R＝ ^D₂ ＝ ₂¹ ×60＝30（厘米）。过 P 点作到重力作用线的垂直线段，该距离即为阻力臂l₂ ＝ R ² - (R - h)² ＝30² - (30 - 12)² ＝24（厘米）。根据杠杆平衡条件公式得F＝ ^l2 G＝ ²⁴ ×100＝80（牛）。l₁           30题 5 某同学用一根均匀的小木棒和两个小秤盘制作了一架土天平，把待测的物体放到天平左盘，右盘放一个质量为 m₁ 的砝码，使天平水平平衡；然后把待测物体放到天平右盘，左盘放一质量为 m₂ 的砝码（m₁≠m₂），天平又重新平衡。待测物体的实际质量是多少？物体分别放在左右两盘时，使天平平衡的砝码不一样，表明土天平为不等臂天平，设待测物体的质量为 m，支点到左边挂盘悬挂点的距离为 l₁，到右边悬挂点的距离为 l₂，当待测物体放在左盘时，根据杠杆平衡条件有：

	mg	=	l2		①
	mlg		l1
当待测物体放在右盘时，有
	m2 g	=	l2		②
	mg		l1

由①、②两式得：m＝ m₁ m₂用例三：     杠杆平衡问题的动态分析及计算。题 6 如图 1-75 所示，杠杆 AB 可绕 O 转动，弧形导轨 MN 以 A 为圆心，绳 AD 的 D 端系一滑环可在 MN 上自由滑动，在滑环从 N 向 M 滑动过程中，杠杆保持平衡，问绳 AD 对杠杆的拉力如何变化？设杠杆左端重物对 B 点的拉力为阻力，则阻力×阻力臂为一恒量，根据杠杆平衡条件，动力×动力臂也必为一恒量。当 AD 的 D 端由 N 滑向 M 的过程中，绳子拉力的力臂先由小逐渐变大，到达导轨 P 点（P 在 A 的竖直向下方向上）时，力臂最大，然后力臂又逐渐变小，根据杠杆平衡条件， D 由 N 滑到 M 的过程中，绳子的拉力先变小，在 P 点时为最小，然后又变大。题 7 杠杆总长为 1.2 米，与墙壁夹角为 30°，如图 1-76 所示，在 B 点挂一重为 240 牛的物体，OB 为 0.8 米。在动力 F 的作用下，杠杆在竖直平面内缓慢向上转动至水平位置。已知动力方向始终与杠杆垂直，求这个过程中动力大小的变化。因为杠杆缓慢转动，是个动态问题。但起始状态及最终水平时可以看
作是平衡态。杠杆向上转动过程中，由于动力始终与杠杆垂直，所以动力臂 l₁＝OA＝1.2 米，是个不变的值；阻力 F₂＝240 牛，也保持不变，阻力臂在开始时l₂＝OB·sin30°＝0.4 米，转至水平位置时，阻力臂l’＝OB＝0.8 米。2该问题由于前、后状况有异，定量计算也应分别立式后求解。杠杆在图示位置时，设动力为 F，根据杠杆平衡条件有：Fl₁＝F₂l₂，动力F＝ ^l_l² F₂ ＝80牛。1杠杆转至水平位置时，设动力为 F’，则：F’l ＝F l’，1       2  2动力F' ＝ ^l_l^'_'² F₂ ＝160牛。1整个过程中，动力从 80 牛，增大至 160 牛，原因是阻力臂在不断地增大。题 8 如图 1-77，AOB 为一弯曲杠杆，AO＝BO＝1 米，在 A 点挂一质量是 5 千克，密度为 2.5×10³ 千克/米 ³ 的矿石，并使矿石浸没在水中，这时在 B 点加多大竖直向下的力可以使杠杆平衡？若取走水盆，保持这个动力的大小不变，能否用改变动力方向的办法维持杠杆平衡？此时的阻力 F₂＝G-F _浮，

而据V物	＝	m	物	，F浮	＝ρ 水 gV物	，
		r物

代入数据得：V_物 ＝ ^m物  ＝ _2.5 ⁵₁₀₃ ＝2×10^-3 （米 ³ ），r_物               ´F _浮＝ρ_水 gV _物＝1×10³×9.8×2×10^-3＝19.6（牛）。悬挂矿石绳子的拉力 F₂＝G-F _浮=5×9.8—19.6=29.4（牛）。根据杠杆平衡条件 F₁l₁＝F₂l₂，其中 l₂＝OA，l₁＝OB·cos60°，代入数据得：

F ＝	l2	F ＝	OA	F = 58.8（牛）。
	l1
1		2	OB · cos60°  2

取走水盆时：F₂＝G＝mg＝5×9.8＝49（牛），对于杠杆左侧有：阻力×阻力臂＝49 牛×1 米＝49 牛·米，若保持动力大小和方向均不变，则杠杆右侧有：动力×动力臂＝58.8 牛×0.5 米＝29.4 牛·米，显然杠杆不能平衡，左侧向下倾。若保持动力大小不变，而改变动力
方向，使动力作用线垂直于 OB，此时的动力臂为最大值，则动力×动力臂的乘积可取得最大值：58.8 牛×1 米＝58.8（牛·米）＞49（牛·米）。显然，只要适当改变动力的方向，使动力×动力臂的积等于 49 牛·米，即可重新满足杠杆平衡条件，维持杠杆平衡．