已知关于x的方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0①求证：不论k为何值，此方程总有两

试题： 已知关于x的方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0
①求证：不论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
②若△ABC中，AB、AC的长是已知方程的两个实数根，第三边BC的长为5．问：k为何值时，△ABC是直角三角形？ 一元二次方程根与系数的关系, 一元二次方程根的判别式, 勾股定理的逆定理

答案：

（1）证明：△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）
=1，
∵△＞0，
∴不论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的解为x=

2k+3±1

2

，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
设AB=k+2，AC=k+1，
当AB2+AC2=BC2，即（k+2）2+（k+1）2=52，解得k₁=-5，k₂=2，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
当AB2+BC2=AC2，即（k+2）2+52=（k+1）2，解得k=-14，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
当AC2+BC2=AB2，即（k+1）2+52=（k+2）2，解得k=11，由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k为2或11时，△ABC是直角三角形．