已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为 ，离心率  ，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点． （1）求椭圆的方程； （2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积； （3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程． |
答案：
解：（1）由已知，椭圆方程可设为 ． ∵长轴长为  ，离心率  ， ∴  ． 所求椭圆方程为  ． （2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1， 所以直线l的方程为y=x﹣1． 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由  得3y2+2y﹣1=0， 解得  ． ∴  ． （3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1， 此时∠POQ小于90°， OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形． 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）． 由  可得 （1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0． ∴  ． ∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1） ∴  因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形  ． 由  得 k2=2， ∴  ． ∴所求直线的方程为  ． |
