以知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0

试题：

以知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点E( a2 c ，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|． （1）求椭圆的离心率； （2）求直线AB的斜率； （3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求 n m 的值．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|， 得| EF2 EF1 |=| F2B F1A |= 1 2 ，从而 a2 c -c a2 c +c = 1 2 整理，得a2=3c2，故离心率e= c a = 3 3 （2）由（I）得b2=a2-c2=2c2， 所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2 设直线AB的方程为y=k(x- a2 c )，即y=k（x-3c）． 由已知设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则它们的坐标满足方程组 y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2 消去y整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0． 依题意，△=48c2(1-3k2)＞0，得- 3 3 ＜k＜ 3 3 而x1+x2= 18k2c 2+3k2 ① x1x2= 27k2c2-6c2 2+3k2 ② 由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③ 联立①③解得x1= 9k2c-2c 2+3k2 ，x2= 9k2c+2c 2+3k2 将x1，x2代入②中，解得k=± 2 3 ． （III）解法一：由（II）可知x1=0，x2= 3c 2 当k=- 2 3 时，得A(0， 2 c)，由已知得C(0，- 2 c)． 线段AF1的垂直平分线l的方程为y- 2 2 c=- 2 2 (x+ c 2 )直线l与x轴 的交点( c 2 ，0)是△AF1C外接圆的圆心， 因此外接圆的方程为(x- c 2 )2+y2=( c 2 +c)2． 直线F2B的方程为y= 2 (x-c)， 于是点H（m，n）的坐标满足方程组 (m- c 2 )2+n2= 9c2 4 n= 2 (m-c) ， 由m≠0，解得 m= 5 3 c n= 2 2 3 c 故 n m = 2 2 5 当k= 2 3 时，同理可得 n m =- 2 2 5 ． 解法二：由（II）可知x1=0，x2= 3c 2 当k=- 2 3 时，得A(0， 2 c)，由已知得C(0，- 2 c) 由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线， 因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上， 且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形． 由直线F2B的方程为y= 2 (x-c)， 知点H的坐标为(m， 2 m- 2 c)． 因为|AH|=|CF1|，所以m2+( 2 m- 2 c- 2 c)2=a2，解得m=c（舍），或m= 5 3 c． 则n= 2 2 3 c，所以 n m = 2 2 5 ．当k= 2 3 时同理可得 n m =- 2 2 5