如图，A为椭圆x2a2+y2b1=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1

试题：

如图，A为椭圆 x2 a2 + y2 b1 =1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1：AF2=3：1． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设 AF1 =λ1 F1B ， AF2 =λ2 F2C ． ①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ1+λ2的值； ②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ1+λ2否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（Ⅰ）设|AF1|=m，则|AF2|=3m． 由题设及椭圆定义得 (3m)2-m2=4c2 3m+m=2a ， 消去m得a2=2c2，所以离心率 2 2 ． （Ⅱ）设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）， 则 AF1 =（-C-x0，-y0）， F1 B=（x1+C，y1） ∵ AF1 =λ1 F1B ，∴x1=- c+x0 λ1 -c，y1=- y0 λ1 又x02+2y02=2c2①，x12+2y12=2c2②， 将x1，y1代入②得： （ c+x0 λ1 +c）2+2（ y0 λ1 ）2=2c2即（c+x0+cλ1）2=2y20=2λ1c2③； ③-①得：2x0=cλ1-3c； 同理：由 AF2 =λ2 F2C ．得2x0=-cλ2+3c； ∴cλ1-3c=-cλ2+3c， ∴λ1+λ2=6．