21、已知|EF|=2c，|EF|=2a（a＞c），2EH=EG，2EO=EF，HP•EG

试题：

21、已知| EF |=2c，| EF |=2a（a＞c），2 EH = EG ，2 EO = EF ， HP • EG =0（G为动点）（a＞c）． （1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程； （2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）有唯一的交点C，证明：| OC |＜ c2 a ．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（1）|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），∴点P的轨迹为椭圆 ∴轨迹方程为 x2 a2 + y2 a2-c2 =1 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．A，B的中点M（x0，y0），C（t，0）． 当kCM不存在时，显然成立． 当kCM存在时，kCM= y0 x0-t ．由“点差法”得：kAB=- a2-c2 a2 • x0 y0 ∵kAB•kCM=-1.x0= a2-t c2 ∵|x0|＜a∴| a2-t c2 |＜a∴|t|＜ c2 a 即| OC |＜ c2 a ．