已知椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，离心率为32，两个焦点分别为F1

试题：

已知椭圆C1的方程为 x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0)，离心率为 3 2 ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C1上一点到F1和F2的距离之和为12，椭圆C2的方程为 x2 (a-2)2 + y2 b2-1 =1，圆C3：x2+y2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圆心为点Ak． （I）求椭圆C1的方程； （II）求△AkF1F2的面积； （III）若点P为椭圆C2上的动点，点M为过点P且垂直于x轴的直线上的点， |OP| |OM| =e（e为椭圆C2的离心率），求点M的轨迹．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（I）设椭圆C1的半焦距为c， 则 2a=12 c a = 3 2 解得a=6，c=3 3 ，（3分） 于是b2=a2-c2=36-27=9，（4分） 因此所求椭圆C1的方程为： x2 36 + y2 9 =1（5分） （II）点Ak的坐标为（-k，2）， 则S△AkF1F2= 1 2 ×F1F2×2= 1 2 ×6 3 ×2=6 3 ．（10分） （III）椭圆C2的方程为 x2 16 + y2 17 =1， 设M（x，y），P（x，y1），其中x∈[-4，4]． 由已知得 x2+ y 21 x2+y2 =e2， 而e= 3 4 ，故16（x2+y12）=9（x2+y2）． 由点P在椭圆C上得 y 21 = 112-7x2 16 ， 化整理得9y2=112，（13分） 因此点M的轨迹方程为y=± 4 7 3 (-4≤x≤4)，（14分） 轨迹是两条平行于x轴的线段．（15分）