设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右两个焦点．（1）若椭圆C上的点A（

试题：

设F1、F2分别为椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1的左、右两个焦点． （1）若椭圆C上的点A（1， 3 2 ）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标． （2）已知圆心在原点的圆具有性质：若M、N是圆上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．试对椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1写出类似的性质，并加以证明．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（1）由题意知，2a=4，∴椭圆C的方程为 x2 4 + y2 b2 =1，把点A（1， 3 2 ）代入，得 1 4 + 9 4 b2 =1，解得b2=3，c2=1，∴椭圆C的方程是 x2 4 + y2 3 =1，焦点坐标是F1（-1，0），F2（1，0） （2）在椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=- b2 a2 证明：设椭圆方程是 x2 A + y2 B =1(A=a2，B=b2)，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么 m2 A + n2 B =1①且 x2 A + y2 B =1② 因为kPM•kPN=( y-n x-m )•( y+n x+m )= y2-n2 x2-m2 ，由①知：n2=B- B A m2，由②y2=B- B A x2，所以y2-n2=- B A (x2-m2)，所以kPM•kPN= y2-n2 x2-m2 =- B A =- b2 a2