已知焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1，(b＞0)F1，F2是它的两个焦点，若椭圆上存

试题：

已知焦点在x轴上的椭圆 x2 4 + y2 b2 =1，(b＞0)F1，F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使 PF1 • PF2 =0，则b的取值范围是 ______．

直线与椭圆方程的应用

答案：

先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2．记∠F1PF2=θ， |PF1|=r1，|PF2|=r2，cosθ= r12+r22-4c2 2r1r2 = (r1 +r2)2-2r1r2-4c2 2r1r2 = 4a2 -4c2 2r1r2 -1 又r1r2≤（ r1+r2 2 ）2=a2，∴cosθ≥ a2+a2-4c2 2a2 =cos∠F1BF2，当且仅当r1=r2时等号成立， 即∠F1PF2≤∠F1BF2．题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=900，当且仅当∠F1BF2≥900，即 cos∠F1BO≤ 2 2 等价于b≤ 2 2 a= 2 ，∴b∈（0， 2 ]． 故答案为：（0， 2 ]．