已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，长轴长为23，直线l：y=kx

试题：

已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0)的离心率为 6 3 ，长轴长为2 3 ，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若m=1，且 OA • OB =0，求k的值（O点为坐标原点）； （Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为 3 2 ，求△AOB面积的最大值．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0），依题意 c a = 6 3 a= 3 解得c= 2 ． 由a2=b2+c2，得b=1． ∴所求椭圆方程为 x2 3 +y2=1（Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1． 设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程 x2 3 +y2=1 y=kx+1 消去y并整理得（1+3k2）x2+6kx=0&， 则△=（6k）2-4（1+3k2）×0＞0&，解得k≠0． 故x1+x2= -6k 1+3k2 ，x1•x2=0． ∵ OA • OB =0，∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）•（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1 =(1+k2)×0+k• -6k 1+3k2 +1= 1-3k2 3k2+1 =0∴k=± 3 3 ． （Ⅲ）由已知 |m| 1+k2 = 3 2 ，可得m2= 3 4 (k2+1)． 将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0． △=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）＞0（*） ∴x1+x2= -6km 1+3k2 ，x1•x2= 3m2-3 1+3k2 ． ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[ 36k2m2 (3k2+1)2 - 12(m2-1) 3k2+1 ] = 12(k2+1)(3k2+1-m2) (3k2+1)2 = 3(k2+1)(9k2+1) (3k2+1)2 =3+ 12k2 9k4+6k2+1 =3+ 12 9k2+ 1 k2 +6 ≤3+ 12 2×3+6 =4(k≠0)． 当且仅当9k2= 1 k2 ，即k=± 3 3 时等号成立． 经检验，k=± 3 3 满足（*）式． 当k=0时，|AB|= 3 ． 综上可知|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值S= 1 2 ×2× 3 2 = 3 2 ．