设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭

试题：

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。 （Ⅰ）若 ，求k的值； （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值。

直线与椭圆方程的应用, 点到直线的距离

答案：

解：（Ⅰ）依题设，得椭圆的方程为 ， 如图，设 ，其中 ， 且 满足方程 ， 故 ，                                ① 由 知 ， 可得 ， 由D在AB上知， ，得 ， 所以 ， 化简，得 ， 解得 或 。
（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为 ， ， 又 ， 所以四边形AEBF的面积为 ， 当 即 时，上式取等号。 所以S的最大值为 。