已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为F1（3，0），且该焦点于长轴上较近的端点距离为2-3

试题：

已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为F1（ 3 ，0），且该焦点于长轴上较近的端点距离为2- 3 ． （1）示此椭圆的标准方程及离心率； （2）设F2是椭圆另一个焦点，若P是该椭圆上一个动点，求 PF1 • PF2 的取值范围．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（1）设所求的椭圆方程为 x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0）， 则 c= 3 3 a-c=2- 3 a2=b2+c2 解得a=2，b=1，c= 3 故所求椭圆的方程为 x2 4 +y2=1，离心率e= c a = 3 2 （2）由（1）知F1（- 3 ，0），设P（x，y）， 则 PF1 • PF2 =（- 3 -x，-y）•（ 3 -x，-y）=x2+y2-3= 1 4 （3x2-8） ∵x∈[-2，2]，∴0≤x2≤4， 故 PF1 • PF2 ∈[-2，1]