已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于255．（Ⅰ）求椭圆C的方

试题：

已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于 2 5 5 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若 MA =λ1 AF ， MB =λ2 BF ，求证：λ1+λ2为定值．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（Ⅰ）设椭圆C的方程为 x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0)， 则由题意知b=1．∴ a2-b2 a2 = 2 5 5 ． 即 1- 1 a2 = 2 5 5 ．∴a2=5． ∴椭圆C的方程为 x2 5 +y2=1； （Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）， 又易知F点的坐标为（2，0）． ∵ MA =λ1 AF ，∴（x1，y1-y0）=λ1（2-x1，-y1）． ∴x1= 2λ1 1+λ1 ，y1= y0 1+λ1 ． 将A点坐标代入到椭圆方程中得： 1 5 ( 2λ1 1+λ1 )2+( y0 1+λ1 )2=1， 去分母整理，得λ12+10λ1+5-5y02=0． 同理，由 MB =λ2 BF 可得：λ22+10λ2+5-5y02=0． ∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y02=0的两个根， ∴λ1+λ2=-10． 方法二：设A，B，M点的坐标分别为A （x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）， 又易知F点的坐标为（2，0）． 显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程是y=k（x-2）． 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中， 消去y并整理得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0． ∴x1+x2= 20k2 1+5k2 ，x1x2= 20k2-5 1+5k2 ． 又∵ MA =λ1 AF ， MB =λ2 BF ， 将各点坐标代入得λ1= x1 2-x1 ，λ2= x2 2-x2 ． λ1+λ2= x1 2-x1 + x2 2-x2 = 2(x1+x2)-2x1x2 4-2(x1+x2)+x1x2 ═-10．