已知椭圆的两个焦点 ，过F1且与坐标轴不平行的直线l与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使  恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由． |
答案：
解：（I）由题意知c= ，4a=8， ∴a=2，b=1 ∴椭圆的方程为  =1 （II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则 l的方程为y=k（x﹣1）  消去y得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2） 则由韦达定理得   则  ∴  =m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2 =m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1） =  =  要使上式为定值须  ， 解得  ∴  为定值  当直线l的斜率不存在时  由  可得  ∴  =  综上所述当  时，  为定值  |
