设椭圆 的焦点在  轴上.（1）若椭圆  的焦距为1，求椭圆 的方程；（2）设  分别是椭圆的左、右焦点，  为椭圆 上的第一象限内的点，直线  交  轴与点  ，并且  ，证明：当  变化时，点  在某定直线上. |
答案：
（1） ；（2）详见解析. |
试题分析：（1）由椭圆的焦距为 ，可得  ，又由  ，从而可以建立关于 的方程，即可解得  ，因此椭圆 的方程为 ；（2）根据题意，可设  ，条件中关于 的约束只有 及 在椭圆上，因此需从 即  为出发点建立  ，  满足的关系式，由题意可得直线  的斜率  ，直线 的斜率  ，故直线 的方程为  ，当  时  ，即点 的坐标为  ,故直线  的斜率为  ，因此  ，化简得  ，又由点 在椭圆 上，可得  ，即点 在直线  上.试题解析：（1）∵焦距为1，∴  ，∴  ，故椭圆 的方程为 ；（2）设 ，其中  ，由题设知  ，则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，当 时 ，即点 的坐标为 ,∴直线 的斜率为 ，∵ ，∴ ，化简得 将上式代入椭圆 的方程，由于  在第一象限，解得 ，即点 在直线 上. |
