如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． |
答案：
（1） ；（2）P(  ，±  ). |
试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，利用两个独立条件确定a,b的值. 设椭圆C的方程为 ，由已知，得  ，∴  ∴b＝  ．所以椭圆C的方程为 ．（2）等腰三角形这个条件，是不确定的，首先需要确定腰. 由  ＝e＝  ，得PF＝ PM．∴PF≠PM．若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与FM相等．因此只有FM＝PM，然后结合点在椭圆上条件进行列方程求解：设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴  ＝4－x，∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由 ，得y2＝3－  x2．∴9＋3－ x2＝16－8x＋x2，∴  x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝ 或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝ ．∴P( ，± )．综上，存在点P( ，± )，使得△PFM为等腰三角形．试题解析：解：（1）设椭圆C的方程为 由已知，得 ，∴ ，∴b＝ ．所以椭圆C的方程为 （2）由 ＝e＝ ，得PF＝ PM．∴PF≠PM．①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与FM 相等．②若FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴ ＝4－x，∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由 ，得y2＝3－ x2．∴9＋3－ x2＝16－8x＋x2，∴ x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝ 或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝ ．∴P( ，± )．综上，存在点P( ，± )，使得△PFM为等腰三角形． |
