椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于

试题：

椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ．(1) 求椭圆 的标准方程；(2) 若直线 与椭圆 相交于 两点( 不是左右顶点)，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．

椭圆的定义

答案：

（1） ；（2）证明详见解析， .

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到 和 ，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 ，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到  或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：  ①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为： ②               2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3．                               3分   ∴所求椭圆 C 的方程为 ．               4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴ ， ，           6分且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 ．              7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)· －(km－2)· + m 2 + 4 =" 0" ．                        10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴  或 m = －2k 都满足 △ > 0．         12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；   13分若 时，直线 l 为 ， 恒过定点   ．          14分