如图所示，在平面直角坐标系 中，设椭圆  ，其中  ，过椭圆  内一点   的两条直线分别与椭圆交于点  和  ，且满足  ，  ，其中  为正常数. 当点  恰为椭圆的右顶点时，对应的  .（1）求椭圆 的离心率；（2）求  与  的值；（3）当 变化时，  是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.  |
答案：
（1） ；（2）  ；（3）  |
| 试题分析：（1）求椭圆 的离心率，即寻找关于a,c的等式，而题中已知了 ，在椭圆中有  代入已知等式，可获得关于a,c的等式，从而可求得离心率  的值；（2）因为当点 恰为椭圆的右顶点时，对应的 ，此时点C的坐标可表表示为(a,0),再由 及 可用a将点A的坐标表示出来，因为点在已知椭圆上，将A点坐标代入可得到关于a,b的一个方程，联立 可解出a,b的值；（3）注意由（2）结论可得到：椭圆的方程为  ，应用点差法：设出  ，由 得到  ①，再由 得到  ②；再将A，B两点的坐标分别代入椭圆方程后相减，可将直线AB的斜率 用A，B两点的坐标来表示，同理将C，D两点的坐标分别代入椭圆方程后相减，可将直线CD的斜率  用C，D两点的坐标来表示，由平面几何知识可知AB//CD，所以 = ，再将①②代入即可求出含 与 的方程，可解得 的值，此值若与 有关，则 不是定值，此值若与 无关，则 是定值.试题解析：（1）因为 ，所以  ，得  ，即  ，所以离心率  . 4分（2）因为  ， ，所以由 ，得  ， 7分将它代入到椭圆方程中，得  ，解得  ，所以 . 10分（3）法一：设  ，由 ，得  ， 12分又椭圆的方程为 ，所以由  ，得  ①， 且  ②，由②得，  ，即  ，结合①，得  ， 14分同理，有  ，所以  ，从而  ，即 为定值. 16分法二：设  ，由 ，得 ，同理 ， 12分将  坐标代入椭圆方程得  ，两式相减得  ，即  ， 14分同理，  ，而  ，所以  ，所以  ，所以  ，即  ，所以 为定值. 16分（说明：只给对结论但未正确证明的，给2分） |
