已知椭圆C： =1（a>0，b>0）的离心率与双曲线  =1的一条渐近线的斜率相等以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sin  ·x+cos ·y－l=0相切（ 为常数）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（3，0）的直线与椭圆C相交TA，B两点，设P为椭圆上一点，且满足  （O为坐标原点），当  时，求实数t取值范围． |
答案：
(1)  ;(2)  或  ． |
试题分析：(1)此问主要考察椭圆与双曲线的性质，椭圆的离心率与双曲线的性质相等，则 ，利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，解出  ,然后利用  ,解出  ,得到方程;(2)典型的直线与圆锥曲线相交问题，首先方程联立  ,写出根与系数的关系，代入向量相等的坐标表示，得出  点坐标，利用点 在椭圆上，代入方程，然后利用  ,利用弦长公式，得到  的范围，与之前得到的 与  的关系式，求出 的范围.试题解析：（I）由题意知双曲线  的一渐近线斜率值为   ， 因为  ，所以  ．故椭圆  的方程为 5分（Ⅱ）设   方程为  由  整理得  ． 由   ，解得  ．  ，  7分∴  则  ,  ， 由点 在椭圆上，代入椭圆方程得  ① 9分又由  ，即  ，将 ， ，代入得  则  ,  ， ∴  ② 11分由①，得  ，联立②，解得  ∴ 或 13分 |
