过抛物线y2=2x内的任意一点Q（s，t）（t2＜2s）作两条相互垂直的弦AB，CD，若弦

试题：

过抛物线y2=2x内的任意一点Q（s，t）（t2＜2s）作两条相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，直线MN恒过定点（ ） A．（s+1，0） B．（|1-s|，0） C．（1+2s，0） D．（|1-2s|，0）

抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

答案：

不妨取Q点是抛物线的焦点（ 1 2 ，0）． 设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4） 把直线AB：y=k（x- 1 2 ）代入y2=2x，得 k2x2-（k2+2）x+ 1 4 k2=0， ∴x3= x1+x2 2 = 1 2 + 1 k2 ，y3=k（x3- 1 2 ）= 1 k 同理可得，x4= 1 2 +k2，y4=-k， ∴kMN= y3-y4 x3-x4 = k 1-k2 ∴直线MN为y- 1 k = k 1-k2 （x- 1 2 - 1 k2 ），即y= k 1-k2 （x- 3 2 ）， 结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（ 3 2 ，0）， 对照Q点是抛物线的焦点（ 1 2 ，0），定点P可以写成（ 1 2 +1，0）． 故选A．