已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线y2=  的焦点．PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线AB的斜率为1，求四边形APBQ面积的最大值； （3）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由． |
 |
答案：
解：（1）设椭圆C的方程为 ∵椭圆的一个顶点恰好是抛物线y2=  的焦点， ∴a=  ∵离心率等于  ， ∴  ， ∴c=1∴b=1 ∴椭圆C的方程为  ； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t， 代入椭圆方程，消元可得3x2+4tx+2t2﹣2=0 由△＞0，解得﹣  ＜t＜  由韦达定理得x1+x2=﹣  t，x1x2=  ． ∵PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴， ∴|PQ|=  ∴四边形APBQ的面积S=  ×  ×|x1﹣x2|=  ×  ∴t=0时，Smax=  ； （3）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0， 设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k， PA的直线方程为y﹣  =k（x﹣1）， 与椭圆方程联立，消元可得（1+2k2）x2+（2  k﹣4k2）x+k2﹣2  k﹣1=0 ∴x1+1=﹣  同理x2+1=﹣  ∴x1+x2=  ，x1﹣x2=﹣  ∴y1﹣y2=k（x1+x2）﹣2k=  ，x1﹣x2=﹣  ∴  ∴直线AB的斜率为定值  ． |
