椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆

试题：

椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，且过点（2，0）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A，B，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，求m的值．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（Ⅰ）由已知 c a = 3 2 ， 4 a2 =1， 所以a=2，c= 3 ， 又a2=b2+c2，所以b=1， 所以椭圆C的方程为 x2 4 +y2=1；． （Ⅱ）联立 x2 4 +y2=1 y=x+m ， 消去y得5x2+8mx+4m2-4=0，△=64m2-80（m2-1）=-16m2+80， 令△＞0，即-16m2+80＞0，解得- 5 ＜m＜ 5 ． 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， （ⅰ）当∠AOB为直角时， 则x1+x2=- 8 5 m，x1x2= 4m2-4 5 ， 因为∠AOB为直角，所以 OA • OB =0，即x1x2+y1y2=0， 所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=0， 所以 8m2-8 5 - 8 5 m2+m2=0，解得m=± 2 5 10 ． （ⅱ）当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角， 由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1， 所以 y1 x1 =-1，即y1=-x1， 又 x 21 4 + y 21 =1；， 所以 5 4 x 21 =1；，x1=± 2 5 5 ，m=y1-x1=-2x1=± 4 5 5 ， 经检验，所求m值均符合题意，综上，m的值为± 2 5 10 和± 4 5 5 ．