高中数学归纳公式全集
常用的归纳公式包括以下几组:
公式1:
设α为任意角度，具有相同终端边缘的角度的相同三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)
公式2:
设α为任意角度，π+α的三角函数值与α的三角函数值的关系:
正弦(π+α)=-正弦α
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式3:
任意角α和-α的三角函数值之间的关系；
正弦(-α)=-正弦α
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
科特(-α)=-科特α
公式4:
π-α和α的三角函数值之间的关系可以利用公式2和公式3得到:
正弦(π-α)=正弦α
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-coα
公式5:
2π-α和α的三角函数值之间的关系可以用公式1和公式3得到:
正弦(2π-α)=-正弦α
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
科特(2π-α)=-科特α
公式6:
π/2 α和3π/2 α的三角函数值与α的关系；
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(高于k∈Z)
注意:做题时，最好把A看成锐角。
诱导公式记忆的配方
※.
这些归纳公式可以总结如下:
对于π/2 * k α (k ∈ z)的三角函数值，
①当k为偶数时，取同名α的函数值，即函数名不变；
②当k为奇数时，得到α对应的互补函数值，即sin→cos；cos→sin；谭→科特，科特→谭。(奇数变偶数不变)
然后在前面加上α视为锐角时原函数值的符号。(参见符号象限)
例如:
Sin (2π-α) = sin (4 π/2-α)，k = 4是偶数，所以取sinα。
当α为锐角时，2π-α∈ (270，360)，sin (2π-α) < 0，符号为“-”。
所以sin (2π-α) =-sin α
上面的记忆公式是:
奇偶相同，符号看象限。
公式右边的符号是角度k.360+α (k ∈ z)，-α，180°α，当α视为锐角时为360°-α。
象限内原三角函数值的符号可以记忆。
诱导名不变；看象限。
如何判断各种三角函数在四个象限的符号，也可以记住公式。
“一个是好的；两个正弦(余割)；两次切割；四余弦(正割)”。
十二字公式的意思是:
第一象限任意角度的四个三角函数都是“+”；
第二象限只有正弦是“+”，其余都是“-”；
第三象限内接函数为“+”，和弦函数为“-”；
第四象限只有余弦是“+”，其他都是“-”。
上面的记忆公式，一个全正，两个正弦，三个内接，四个余弦。
还有另一种方法来根据函数类型限制正负:
类型函数第一象限第二象限第三象限第四象限
...........+............+............-............— ........
余弦...........+............-............-............+........
正切...........+............-............+............-........
于车...........+............-............+............-........
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系
互惠关系:
tanα cotα=1
sinα cscα=1
cosα secα=1
业务关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
等角三角函数关系的六边形记忆法
六角记忆法:
与 # 34；上弦，中切，下切；，右于，中间1 # 34；的正六边形是模型。
(1)互逆关系:对角线上的两个函数互逆；
(2)商关系:六边形任意顶点处的函数值等于相邻两个顶点处函数值的乘积。
(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。这样，就可以得到商的关系。
(3)平方关系:在带影线的三角形中，上两个顶点的三角函数值的平方和等于下一个顶点的三角函数值的平方。
两角和差公式
两角和差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
双角度公式
双角的正弦、余弦、正切公式(增、减角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(幂次递减和展开角公式)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
还有一个普适公式tan(α/2)=(1-cosα)/sinα= sinα/(1+cosα)。
三角函数的通用公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
通用公式推导
附加推导:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,
(因为cos 2 (α)+sin 2 (α) = 1)
然后用*分数自上而下除以COS 2 (α)，就可以得到SIN 2 α = 2 tan α/(1+tan 2 (α))。
那么就用α/2代替α。
余弦的通用公式也可以用同样的方法推导出来。通过正弦和余弦的比较，可以得到正切的普遍公式。
三倍角公式
三角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]
三倍角公式的推导
附加推导:
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin 2αcosα+cos 2αsinα)/(cos 2αcosα-sin 2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)
上下除以COS 3 (α)得到:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin 3α= sin(2α+α)= sin 2αcosα+cos 2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos 3α= cos(2α+α)= cos 2αcosα-sin 2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
也就是
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
三角公式的联想记忆
★记忆方法:谐音、联想。
正弦的三倍角:3元减4元乘3角(负债(减为负数)，所以你要“挣钱”(听起来像正弦))
余弦三倍角:4元减3元的3个角(减法后有“剩余”)。
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角用正弦表示，余弦的三倍角用余弦表示。
★其他记忆方法:
正弦三角:山无司令(谐音为三无四立)，三指 # 34；3次 # 34；Sinα，无号指负号，四指 # 34；4倍 # 34；，stand指的是sinα立方体。
余弦三角:司令，没有山也一样。
和差乘积公式
三角函数的和差积公式
sinα+sinβ= 2 sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2 sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
乘积和差公式
三角函数的积和差公式
sinαcosβ= 0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ= 0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差积公式的推导
附加推导:
首先我们知道sin (a+b) = sin a * cosb+cosa * sinb，sin (a-b) = sin a * cosb-cosa * sinb
我们把这两个公式相加得到它。
sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以sin a * cosb =(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同样，如果你把这两个公式相减，你会得到
cosa * sinb =(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样，我们也知道
cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
因此，将两个公式相加，可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb。
所以我们得到，cos a* cosb =(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理，两个公式相减可以得到sin a* sinb =-(cos(a+b)-cos(a-b))/2。
这样，我们得到积和差的四个公式:
Sina * cosb =(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa * sinb =(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa * cosb =(cos(a+b)+cos(a-b))/2
Sina * sinb =-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
有了积和差的四个公式，只需要一个变形就可以得到积和差的四个公式。
我们设上面四个公式中的a+b为X，A-B为Y，那么A = (x+y)/2，B = (x-y)/2。
用X和Y分别表示A和B，可以得到和差积的四个公式:
sinx+siny = 2 sin((x+y)/2)* cos((x-y)/2)
sinx-siny = 2cos((x+y)/2)* sin((x-y)/2)
cosx+cosy = 2cos((x+y)/2)* cos((x-y)/2)
cosx-cosy =-2 sin((x+y)/2)* sin((x-y)/2)
