前面对 map/multimap/set/multiset 进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是： 其底层都是按照二叉搜索树来实现的 ，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N) ，因此 map 、 set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。博主的重点是实现AVL树的插入

目录

AVL 树

AVL树的概念

为什么这里的平衡不是指的控制两边高度完全相等，而是控制它们的绝对值不超过1呢？

AVL树节点的定义

AVL树的插入  

如何调节平衡因子？

AVL树的旋转

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

抽象图及其具象图

代码实现：

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

抽象图：

​编辑代码实现：

3. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋 

抽象图：

具象图举例： 

平衡因子改变的三种情况： 

代码实现： 

4.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

抽象图： 

平衡因子改变的三种情况： 

代码实现： 

总结：

AVL树的验证  

1. 验证其为二叉搜索树

代码实现：

2. 验证其为平衡树

代码实现： 

验证测试用例 

AVL树的删除(了解)

AVL树的性能

AVL树完整代码

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当 于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之 差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。AVL树本质是通过高度控制它的平衡，所以AVL树也叫高度平衡二叉搜索树。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)，AVL的实现不一定需要平衡因子，使用平衡因子是一种控制实现的方式。（这里的平衡因子我们定为右子树的高度-左子树的高度，当然左子树减右子树也是可以的）有了平衡因子我们就可以很方便的确定该树是不是AVL树。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在 ，搜索时 间复杂度 O( log2N ) 。

为什么这里的平衡不是指的控制两边高度完全相等，而是控制它们的绝对值不超过1呢？

答：因为我们不能保证每棵树都做到左右字树相等;有1个节点的树可以做到相等，但是有2个节点的树无论如何也是都做不到相等的...

AVL树节点的定义

template
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent; //更新平衡因子需要
	pair _kv; //需要一个pair
	int _bf; //平衡因子 balance factor

	AVLTreeNode(const pair& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0) 
		, _kv(kv)
	{}

};

AVL树的插入  

AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL 树的插入过程可以分为两步： 1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点 2. 调整节点的平衡因子

如何调节平衡因子？

新增节点的平衡因子始终是0，而且新增的节点不会影响它的兄弟，而是会影响它的祖先节点的平衡因子，出现新增节点，我们就去更新平衡因子，如果更新完后没有问题直接结束，如果更新完平衡因子出现2/-2后就代表出现问题了，就需要我们进行处理。

控制平衡：1.更新平衡因子 2.出现异常的平衡因子，那么需要旋转平衡处理

1、cur==parent->left  parent->bf++

2、cur==parent->right parent->bf--

注意：我们规定的平衡因子是右子树-左子树，所以cur==parent->left  parent->bf++，反之

3、更新以后，parent->bf==0, 更新结束；说明更新前parent->bf是1或者是-1，现在变成0，说明填上了矮的那边，parent所在字树的高度不变

4、更新以后，parent->bf==1/-1，说明继续往上更新。说明更新前parent->bf是0，现在变成1或者-1，说明有一边字树变高了，parent所在子树的高度变了。

5、更新以后，parent->bf==2/-2，parent所在子树已经不平衡了需要旋转处理。

eg:

代码实现：

	bool Insert(const pair& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent; //把三叉链链上
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//控制平衡
		//1.更新平衡因子---更新新增节点到根节点的祖先路径 
		//2.出现异常的平衡因子，那么需要旋转平衡处理

		while (parent) //parent等于空就结束，此时cur就在根
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}


			if (parent->_bf == 0)
			{
				//更新以后，parent->bf==0, 更新结束；
				//说明更新前parent->bf是1或者是-1，现在变成0，说明填上了矮的那边，parent所在子树的高度不变
				break;
			}
          	else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
 			{
				//更新以后，parent->bf==1/-1，说明继续往上更新。
				//说明更新前parent->bf是0，现在变成1或者-1，说明有一边子树变高了，parent所在子树的高度变了。
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转处理
			}
			else
			{
				//说明插入更新平衡因子之前，数中的平衡因子就有问题了,直接终止程序
				assert(false);
			}

		}


		return true;

	}

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

抽象图及其具象图

 如果它作为局部的子树对再上一层是没有任何影响的，就不需要在继续向上更新了，

代码实现：

是这么简单吗？看似好像没啥问题，但是别忘了我们这里的节点是三叉链，还存在着一个parent。

此时我们将三叉链链接上，还会有其他问题吗？

如果我们旋转的树是一颗局部的子树：原来我们的根是60，现在我们的根是30，但是旋转以后60的parent还指向着这60，所以我们要将60的parent指向30. 

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR) //不为空才链接，否则就出现空指针问题
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		
		Node* parentParent = parent->_parent; //提前记录一下parent的父亲

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root) //如果是一颗独立的树
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent) //改变parent父亲的链接
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent; //注意三叉链接
		}

		//旋转完后平衡因子变成0
		subL->_bf = 0;  
		parent->_bf = 0;

	}

再举个栗子帮助大家理解

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

抽象图：

代码实现：

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}

		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}

		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;

	}

3. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋  抽象图：

具象图举例： 

平衡因子改变的三种情况： 

代码实现： 

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0) //可以不写
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}

	}

4.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

抽象图： 

先将30左单旋，再将60右单旋

平衡因子改变的三种情况： 

代码实现： 

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
	}

总结：

假如以 pParent 为根的子树不平衡，即 pParent 的平衡因子为 2 或者 -2 ，分以下情况考虑 1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR 当 pSubR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋 当 pSubR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋 2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL 当 pSubL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋 当 pSubL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋 旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

AVL树的验证  

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 代码实现：

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

代码实现： 

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; //不能写反

	}
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		//对当前树进行检查
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			//平衡因子异常
			cout << root->_kv.first << "现在是:" << root->_bf << endl;
			cout << root->_kv.first << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

验证测试用例 

void TestAVLTree()
{
	AVLTree t;
	//int a[] = { 5,4,3,2,1,0 };
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
		cout << "Insert" << e << ":" << t.IsBalance() << endl;
	}

	t.InOrder(); //中序遍历是可以验证是搜索二叉树
	cout << t.IsBalance() << endl; //判断每棵树是否平衡


}

AVL树的删除(了解) 因为 AVL 树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。 具体实现可参考《算法导论》或《数据结构 - 用面向对象方法与 C++ 描述》殷人昆版。

AVL树的性能 AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1 ，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即logN。 但是如果要对AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如： 插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的( 即不会改变 ) ，可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。

AVL树完整代码

#pragma once
#include
#include
using namespace std;

template
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent; //更新平衡因子需要
	pair _kv; //需要一个pair
	int _bf; //平衡因子 balance factor

	AVLTreeNode(const pair& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0) 
		, _kv(kv)
	{}

};

template
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	bool Insert(const pair& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent; //把三叉链链上
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//控制平衡
		//1.更新平衡因子---更新新增节点到根节点的祖先路径 
		//2.出现异常的平衡因子，那么需要旋转平衡处理

		while (parent) //parent等于空就结束，此时cur就在根
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}


			if (parent->_bf == 0)
			{
				//更新以后，parent->bf==0, 更新结束；
				//说明更新前parent->bf是1或者是-1，现在变成0，说明填上了矮的那边，parent所在字树的高度不变
				break;
			}
          	else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
 			{
				//更新以后，parent->bf==1/-1，说明继续往上更新。
				//说明更新前parent->bf是0，现在变成1或者-1，说明有一边字树变高了，parent所在字树的高度变了。
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转处理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else
			{
				//说明插入更新平衡因子之前，数中的平衡因子就有问题了,直接终止程序
				assert(false);
			}

		}


		return true;

	}


	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR) //不为空才链接，否则就出现空指针问题
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		
		Node* parentParent = parent->_parent; //提前记录一下parent的父亲

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root) //如果是一颗独立的树
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent) //改变parent父亲的链接
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent; //注意三叉链接
		}

		//旋转完后平衡因子变成0
		 
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}


	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}

		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}

		subR->_bf = parent->_bf = 0;
		
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0) //可以不写
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}

	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; //不能写反

	}
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		//对当前树进行检查
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			//平衡因子异常
			cout << root->_kv.first << "现在是:" << root->_bf << endl;
			cout << root->_kv.first << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

private:
	Node* _root;
};

void TestAVLTree()
{
	AVLTree t;
	//int a[] = { 5,4,3,2,1,0 };
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 }; //插入14的时候6的平衡因子出现问题了。
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
		cout << "Insert" << e << ":" << t.IsBalance() << endl;
	}

	t.InOrder(); //中序遍历是可以验证是搜索二叉树
	cout << t.IsBalance() << endl; //判断每棵树是否平衡

	//有没有可能树的形状对但是平衡因子不对
}