目录
前言
一、树是什么？
二、树的一些重要概念
三、二叉树
两种特殊的二叉树
二叉树的性质
四、链式存储实现的二叉树
总结
前言
二叉树是数据结构中很重要的一部分，二叉树和栈和队列不一样，栈和队列是线性结构，而二叉树是树形结构，其形状类似于一颗倒挂的树。所以到了二叉树这就更需要画图来更具体的表现出来逻辑，一起来了解一下二叉树吧！
一、树是什么？ 树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： *有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 *除根结点外，其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继 *树是递归定义的。
二、树的一些重要概念
结点的度
：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：
A
的度为
6
树的度
：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为
6
叶子结点或终端结点
：度为
0
的结点称为叶结点； 如上图：
B
、
C
、
H
、
I...
等节点为叶结点
双亲结点或父结点
：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：
A
是
B
的父结点
孩子结点或子结点
：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：
B
是
A
的孩子结点
根结点
：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：
A
结点的层次
：从根开始定义起，根为第
1
层，根的子结点为第
2
层，以此类推
树的高度或深度
：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为
4
以下概念了解一下就可以：
非终端结点或分支结点
：度不为
0
的结点； 如上图：
D
、
E
、
F
、
G...
等节点为分支结点
兄弟结点
：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：
B
、
C
是兄弟结点
堂兄弟结点
：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：
H
、
I
互为兄弟结点
结点的祖先
：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：
A
是所有结点的祖先
子孙
：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是
A
的子孙
森林
：由
m
（
m>=0
）棵互不相交的树组成的集合称为森林
三、二叉树
二叉树的每个节点要么最多有两个孩子
两种特殊的二叉树
满二叉树：一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k - 1，则它就是满二叉树。
完全二叉树： 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1)(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k - 1(k>=0)
3.对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若 i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点 若 2i+1四、链式存储实现的二叉树
孩子表示法：
class TreeNode{
public TreeNode left;//左孩子引用
public TreeNode right;//右孩子引用
public char val;
public TreeNode(char val){
this.val = val;
}
}
public class BinaryTree {
public TreeNode creat(){//创建 根节点
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
E.right = H;
C.left = F;
C.right = G;
return A;
}
四种遍历方式
前序遍历：先打印
根节点->左孩子->右孩子
//非递归遍历
public List preorder(TreeNode root) {
List list = new ArrayList<>();
Stack stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;//用此节点来遍历整棵树
while(cur != null || !stack.isEmpty()){//每次遍历一棵树
while(cur != null){
stack.push(cur);
list.add(cur.val);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();//用来记录每入栈棵树
cur = top.right;
}
return list;
}
中序遍历：先打印左子树-> 根节点-> 右子树
public Listinorder(TreeNode root) { //子问题递归 //非递归遍历 List list = new ArrayList<>(); Stack stack = new Stack<>(); TreeNode cur = root; while(cur != null || !stack.isEmpty()){ while(cur != null){ stack.push(cur); cur = cur.left; } TreeNode top = stack.pop(); list.add(top.val);//先打印左子树 正好栈顶里面就是左子树 cur = top.right; } return list; }
后序遍历：先打印左子树-> 右子树-> 根节点
public Listpostorder(TreeNode root) { //非递归遍历 List list = new ArrayList<>(); Stack stack = new Stack<>(); TreeNode cur = root; TreeNode prev = null; while(cur != null || !stack.isEmpty()){ while(cur != null){ stack.push(cur); cur = cur.left; } TreeNode top = stack.peek();//栈顶节点 if(top.right == prev || top.right == null){//定义prev每次都指向上一个出栈的节点，如果有父子关系就再让cur指向新的节点防止死循环 stack.pop(); list.add(top.val); prev = top; }else{ cur = top.right; } } return list; }
层序遍历：一层一层按顺序打印
public void level(TreeNode root){
if(root == null)return;
Queue queue = new linkedList<>();//使用队列先放根不为空出根放其左右孩子直至所有树完成遍历
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val + " ");
if(cur.left != null){
queue.offer(cur.left);
}
if(cur.right != null){
queue.offer(cur.right);
}
}
}
其他的一些操作
所有节点 递归
int count = 0;
public int size(TreeNode root){
if(root != null){
count ++;
size(root.left);
size(root.right);
}
return count;
}
//子问题思路
public int size1(TreeNode root){
int count = 0;
if(root == null)return count;
int count1 = size1(root.left);
count += count1;
int count2 = size1(root.right);
count += count2;
return count + 1;
}
//寻找叶子结点
public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
if(root == null)return 0;
if(root.left == null && root.right == null){
return 1;//是叶子节点
}
return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
}
//寻找k层节点个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
if(root == null || k <= 0)return 0;
if(k == 0){
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
//树的深度
public int getHeight(TreeNode root){
if(root == null)return 0;
//空间复杂度是树的高度 时间复杂度是O(n)
return Math.max(getHeight(root.left) + 1,getHeight(root.right) + 1);//使用三目运算符一定不能让递归次数太多
}
//寻找某一节点
public TreeNode find(TreeNode root,char val){
if(root == null)return null;
if(root.val == val)return root;//找到了就直接返回
TreeNode ret = find(root.left,val);//左子树
if(ret != null){
return ret;
}
ret = find(root.right,val);//右子树
if(ret != null){
return ret;
}
return null;
}
总结
学好二叉树是非常重要的，不仅仅可以更好的理解递归，而且在以后的数据结构学习中也能更轻松的理解，优先级队列，红黑树，B树以后都是要更深层次的学习的，所以在二叉树这里要更为严谨认真的学懂！
