题文
(1)已知
,求证：
;
(2)已知
，
>0(i=1,2,3,…,3n)，求证：
+
+
+…+
题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)利用函数的单调性，alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=
时等号成立。
(2)证明：数学归纳法
解析
(1)证明：
a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，
alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)="f(a)"
那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，
)时f ′ (a)<0，当a∈(
，1)时f ′ (a)>0，
f(a)在(0，
]上递减，在[
，1) 上递增；
f(a)≥f(
)="(1-b)" log3
+ blog3b，记g(b)=" (1-b)" log3
+ blog3b， 3分
得：g′(b)= log3b-log3
，当b∈(0，
)时g′(b) <0，当b∈(
，1)时，g′(b) >0，
g(b)在(0，
)递减，在(
，1)上递增；
g(b)≥g(
)=-1。
alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=
时等号成立。5分
(2)证明：n=1时，
+
+
=1，
>0(i=1,2,3)，由(1)知
+
+
≥-1成立，即n=1时，结论成立。
设n=k时结论成立，即
+
+…+
=1，
>0(i=1,2,3,…,3k)时
+
+
+…+
≥-k.
那么，n=k+1时,若
+
+…+
+
+…+
=1，
>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，
令
+…+
=t，则
+
+…+
=1，由归纳假设：
+
+…+
≥-k. 8分
+
+
+…+
-(1-t)
(1-t) ≥-k(1-t).
+
+
+…+
≥-k(1-t)+ (1-t)
(1-t)…(1)
设
+…+
=s，则
+…+
=t-s，
+
+…+
=1，
由归纳假设：
+
+…+
≥-k.
+
+…+
≥-k(t-s)+ (t-s)
(t-s)
………(2) 10分
+…+
=s，
+
+…+
=1；由归纳假设同理可得：
+
+…+
≥-ks+ s
s ……(3)
将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得：
+
+…+
+…+
+…+
≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)
(1-t)+ (t-s)
(t-s) + s
s
而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。
(1-t)
(1-t)+ (t-s)
(t-s) + s
s≥-1。
-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)
(1-t)+ (t-s)
(t-s) + s
s≥-k-1=-(k+1)。
+
+…+
+…+
≥-(k+1)。
n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。 13分
点评：难题，利用已知a，b，c的关系，首先确定得到函数f(a)，从而利用导数研究函数的单调性，达到证明不等式的目的。（2）利用数学归纳法证明不等式，看似思路清晰，但在不等式变形过程中，困难重重。是一道比较难的题目。
考点
据考高分专家说，试题“(1)已知,求证：;(2)已知，>.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
