题文
若
是函数
在点
附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称
是函数
的一个极值，
为极值点．已知
，函数
．
（Ⅰ）若
，求函数
的极值点；
（Ⅱ）若不等式
恒成立，求
的取值范围．
（
为自然对数的底数） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
的极小值点为1和
，极大值点为
．
（2）
解析
解：（Ⅰ）若
，则
，
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减． …2分
又因为
，
，所以
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
． …4分
故
的极小值点为1和
，极大值点为
． …6分
（Ⅱ）不等式
，
整理为
．…（*）
设
，
则
（
）
． …8分
①当
时，
，又
，所以，
当
时，
，
递增；
当
时，
，
递减．
从而
．
故，
恒成立． …11分
②当
时，
．
令
，解得
，则当
时，
；
再令
，解得
，则当
时，
．
取
，则当
时，
．
所以，当
时，
，即
．
这与“
恒成立”矛盾．
综上所述，
． …14分
点评：解决的关键是对于导数在研究函数中的运用，求解极值和最值，以及不等式的恒成立问题，属于基础题。
考点
据考高分专家说，试题“若是函数在点附近的某个局部范围内的最大（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
