题文
已知函数
，
.
(I)求函数
的单调区间；
(Ⅱ)当
时，函数
恒成立，求实数
的取值范围；
(Ⅲ)设正实数
满足
，求证：
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
当
时，只有单调递增区间
;当
时，单调递增区间为
，
,单调递减区间为
.
;
详见解析.
解析
先求出
的导数，讨论
，利用导数的正负与函数单调性得关系求出单调区间；
当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立转化为
>0恒成立.结合第
问讨论的单调区间得出
的范围；
结合第
问，令
，
，所以
，再利用柯西不等式，
，其中由条件
.最后得证.
试题解析：（Ⅰ）易知
,定义域是
.
1分
由
的判别式
①当
即
时，
恒成立，则
在
单调递增 2分
②当
时，
在
恒成立，则
在
单调递增 3分
③当
时，方程
的两正根为
则
在
单调递增，
单调递减，
单调递增
综上，当
时，只有单调递增区间
当
时，单调递增区间为
，
单调递减区间为
5分
（Ⅱ）即
时，
恒成立
当
时，
在
单调递增 ∴当
时，
满足条件 7分
当
时，
在
单调递减
则
在
单调递减
此时
不满足条件
故实数
的取值范围为
9分
（Ⅲ）由（2）知，
在
恒成立
令
则
10分
∴
11分
又
其中
∴
13分
∴
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，.(I)求函数的单调区间；(Ⅱ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
