题文
已知函数
．
(Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
(Ⅱ）当
时，在曲线
上是否存在两点
，使得曲线在
两点处的切线均与直线
交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ）若
在区间
存在最大值
，试构造一个函数
，使得
同时满足以下三个条件：①定义域
，且
；②当
时，
；③在
中使
取得最大值
时的
值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数
即可） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，且交点纵坐标的取值范围是
；（Ⅲ）详见解析.
解析
（Ⅰ）对参数
的值影响函数极值点的存在与否进行分类讨论，结合求解导数不等式求相应的单调区间；（Ⅱ）先将曲线在点
、
处的切线方程求出，并将交点的坐标假设出来，利用交点坐标满足两条切线方程，得到两个不同的等式，然后利用等式的结构进行相应转化为函数的零点个数来处理；（Ⅲ）可以根据题中的条件进行构造，但要注意定义域等相应问题.
试题解析：（Ⅰ）依题可得
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，解得
或
，
单调递增区间为
和
． 4分
（Ⅱ）设切线与直线
的公共点为
，当
时，
，
则
，因此以点
为切点的切线方程为
．
因为点
在切线上，所以
，即
．
同理可得方程
. 6分
设
，则原问题等价于函数
至少有两个不同的零点.
因为
，
当
或
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减．
因此，
在
处取极大值
，在
处取极小值
．
若要满足
至少有两个不同的零点，则需满足
解得
．
故存在，且交点纵坐标的取值范围为
． 10分
(Ⅲ）由(Ⅰ）知，
，即
． 11分
本题答案不唯一，以下几个答案供参考：
①
，其中
；
②
其中
；
③
其中
． 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数．(Ⅰ）求函数的单调递增区间；(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
