已知函数，其中e为自然对数的底数，且当x>0时恒成立．求的单调区间；求实数a的所有可能取值的集合；求证：.

题文

已知函数

，其中e为自然对数的底数，且当x>0时

恒成立．
（Ⅰ）求

的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求证：

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 减区间是

,增区间是

；（Ⅱ）

；（Ⅲ）详见解析.

解析

（Ⅰ）确定定义域，求

，由

求得增区间，由

求得减区间；（Ⅱ）利用在区间

上，

恒成立，则

求解；（Ⅲ）利用构造法，构造新函数求解.
试题解析：(Ⅰ)

,

,

，


的减区间是

,增区间是

.                       (2分)
(Ⅱ)

恒成立,即

,


,

恒成立.                              (3分)
设

,

,
由于

在

上是增函数,且

,


时,

是减函数,

时,

是增函数,


,从而若

恒成立,必有

.   (5分)
又

,

的取值集合为

.                               (6分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,

,即

,当且仅当

时等号成立,


时,有

.      




,                       (9分)
设

,
则

,
当

时,

是减函数,
当

时,

是增函数,


,即

成立.                    (12分)

考点

据考高分专家说，试题“ 已知函数，其中e为自然对数的底数，且当.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。