题文
已知函数f（x）=![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/2389e41a4728ec6d33daeee5a86a74cf.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值与最小值；
（2）若
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/dae5aff51fa6dac0ecb252ce6ec1a33a.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/63d2b655ddb58940e823f16b3a8a2446.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
的最大值为
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/5b6648c5422317414705cbdad4c80a3a.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，最小值为
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/f67dcfefb81d043b3eba728396dbb6d1.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
；（2）
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/17ce6d8435ef14e31e2dc826e70ec71c.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
.
解析
（1）先求导函数
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/87928591d1e89dc72bb98f97fc5fb34d.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，再求
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/0727d5e6f19215253e66fafb7b0fce5d.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
的根，再判断根两侧导数的符号，进而判断函数大致图象，再从大致图象并比较端点函数值的大小来确定最大值和最小值；（2）恒成立问题关键搞清变量和参数的关系，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则，该题中首先利用
的最大值小于
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/43c93a6588a7a786b9c8d8741c9d9f37.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，得关于
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/15965babc694f52e92a516ca79b70e66.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
恒成立的不等式，再根据
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/5b48019cbaf09584e61e6611408a926a.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，求参数
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/32cf3db09d72a9e79c9a398696f155b7.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
的范围.
试题解析：（1）因为函数
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/1014f7a0e6b560443b4038ea377dcae9.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/517046e182ecb7279b4ac94725d850f1.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/0d96a8dcb96a98fe7c3a199f334a2e94.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，所以
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/cefca48383895000a6edd4b69dca34d1.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/5ae5bf1d88eb9ded86e18555f9b2152e.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，令
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/ca9b52668f61f298b73c3e8b14efa8fa.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
得
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/33f682ba68bf4710735042006168f166.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，因为
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/cc95cef870daefc874084f1fa467fe9e.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，
当
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/78194f0421b2450198111b0faff37338.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
时
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/4dd05ef40960dbb5206bd8e533236382.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
；当
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/b1a2b49007cfa159c45080aff129d01a.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
时，
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/7e1ef6daee360e64f448ed9495d9767c.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
；∴
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/4d8036461860493a69505dc35cceb6c4.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
在
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/9c6f113f465f6ca04bc6d4e80b7932a3.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
上单调减函数，在
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/daaac671f549270a4f21c1dee5500553.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
上单调增函数，∴
在
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/69ff938eaec8ea0acc4b4d4e926fdbef.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
处取得极小值
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/b371421a1adfccb2ec1a79c2762a678d.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
； 又
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/1d661b0c7a0c0772f6fc220a7c5c63b5.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/ea5189a82def47cdb4b4b0ac7f630b26.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，∵
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/dc5bbbe719f8b40b6fb00b3b77698d43.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
∴
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/8cefbe4aa599822b6a4569195eac9387.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
∴
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/c6adf6c931d87a9f127fa711e3765a1f.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，
∴
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/77b05e6736a4ca50521de5d56ba7299f.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
时
的最大值为
，
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/b8eeff543e11b420f336938071ecf101.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
时函数取得最小值为
．
（2）由（1）知当
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/f55ce6b3732ccc2c87bcada180a3c62c.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
时，
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/28e2b53ed7b14b523d90453ddbd7e359.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，故对任意
，
恒成立，
只要
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/e93bca1d86ab434a5ed3129ff82e35e5.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
对任意
恒成立，即
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/5e20c4833917aaf89147cd4d2fafdaf6.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
恒成立，记
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/046e3106f338aaddd4b0556733e17813.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，
∴
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/4193b2ac251af4fe7b04f88f5b8f1883.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，解得
![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/0cc06bd26a8ede1e20c4ad53c78d7304.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，∴实数a的取值范围是
．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=，x∈[1，3]，（1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商![已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211020/FlraY2WTBYxJWdfybu1zT0CM9toU.png "已知函数f=，x∈[1，3]，求f的最大值与最小值；若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．")
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
