题文
对定义在区间
上的函数
，若存在闭区间
和常数
，使得对任意的
，都有
，且对任意的
都有
恒成立，则称函数
为区间
上的“
型”函数．
（1）求证：函数
是
上的“
型”函数；
（2）设
是（1）中的“
型”函数，若不等式
对一切的
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若函数
是区间
上的“
型”函数，求实数
和
的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析;（2）
;（3）
．
解析
（1）根据题意可将函数中的绝对值去掉可得一个分段函数
，可作出函数的图象，不难发现当
时，
；当
时，
，由此可易得证; （2）由（1）中的函数不难求出函数的最小值，这们即可将问题转化为求
恒成立，这是一个关于
的含有绝对值的不等式，去掉绝对值可得
，然后采用先分开后合并的方法求出此不等式的解集; （3）根据题中“
型”函数的定义，则可假设存在闭区间
和常数
，使得对任意的
，都有
，这样即可得到一个恒等式，即
对任意
恒成立，则对应系数分别相等，即可求出对应的
，注意要回代检验一下，判断其余的是否均大于这个最小值．
试题解析：（1）当
时，
；当
时，
，
∴ 存在闭区间
和常数
符合条件． 4分
（2）
对一切的
恒成立，
∴
， 6分
解得
． 10分
（3）存在闭区间
和常数
，使得对任意的
，
都有
，即
，
∴
对任意
恒成立
∴
或
12分
① 当
时，
当
时，
当
，即
时，
由题意知，
符合条件； 14分
②当
时，
∴
不符合要求； 16分
综上，
．
考点
据考高分专家说，试题“对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
