题文
在圆
上任取一点
，设点
在
轴上的正投影为点
．当点
在圆上运动时，动点
满足
，动点
形成的轨迹为曲线
.
（1）求曲线
的方程；
（2）已知点
，若
、
是曲线
上的两个动点，且满足
，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
.
解析
（1）解法一是从条件
得到点
为线段
的中点，设点
，从而得到点
的坐标为
，利用点
在圆
上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线
的方程；解法二是利用相关点法，设点
，点
，通过条件
确定点
与点
的坐标之间的关系，并利用点
的坐标表示点
的坐标，再借助点
在圆
上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线
的方程；（2）先利用条件
将
化简为
，并设点
，从而得到
的坐标表达式，结合点
，将
的代数式化为以
的二次函数，结合
的取值范围，求出
的取值范围.
试题解析：（1）解法1：由
知点
为线段
的中点.
设点
的坐标是
，则点
的坐标是
.
因为点
在圆
上，所以
.
所以曲线
的方程为
；
解法2：设点
的坐标是
，点
的坐标是
，
由
得，
，
．
因为点
在圆
上， 所以
． ①
把
，
代入方程①，得
．
所以曲线
的方程为
；
（2）解：因为
，所以
．
所以
．
设点
，则
，即
．
所以
，
因为点
在曲线
上，所以
．
所以
．
所以
的取值范围为
.
考点
据考高分专家说，试题“在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点．.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
