已知函数f=ax3+bx2，f在点）处的切线方程为12x+2y-27=0．求函数f的解析式；若对任意的x∈[1，+∞

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²，f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）将x=3代入直线方程得y=-92，
∵点（3，f（3））也在函数f（x）=ax³+bx²的图象上，∴27a+9b=-92①
再由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
联立①②，解得a=-13，b=12．
∴f(x)=-13x3+12x2；
（Ⅱ）由f'（x）=-x²+x，∴f′（x）≤klnx恒成立，
即-x²+x≤klnx在x∈[1，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+klnx，
∵g（1）=0，
∴只需对任意x∈[1，+∞）有g（x）≥g（1）即可．
g′(x)=2x-1+kx=2x2-x+kx，x∈[1，+∞)
设h（x）=2x²-x+k，
（1）当△=1-8k≤0，即k≥18时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）．
（2）当△=1-8k＞0，即k＜18时，设x1，x 2是方程2x²-x+k=0的两根且x₁＜x₂
由x1+x 2=12，可知x₁＜12，要使对任意x∈[1，+∞）有g（x）≥g（1），
只需x₂≤1，即2×1²-1+k≥0，
∴k+1≥0，k≥-1
∴-1≤k＜18
综上分析，实数k的取值范围为[-1，+∞）．

解析

92

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2，f（x.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。