已知函数f=ax3+bx2在点）处的切线方程为12x+2y-27=0，且对任意的x∈[0，+∞），f'≤kln恒成立．

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0，且对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数k的最小值；
（Ⅲ）求证：1+12+13+…+1n＜ln(n+1)+2（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）将x=3代入直线方程得y=-92，
∵点（3，f（3））在函数f（x）=ax³+bx²的图象上，∴27a+9b=-92①
由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
联立①②，解得a=-13，b=12．
∴f(x)=-13x3+12x2；
（Ⅱ）由f'（x）=-x²+x，∴对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立，
即-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）即可．
g′(x)=2x-1+kx+1=2x2+x+k-1x+1，x∈[0，+∞)
设h（x）=2x²+x+k-1，
（1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥98时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（0）
（2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜98时，设x1，x 2是方程2x²+x+k-1=0的两根且x₁＜x₂
由x1+x 2=-12，可知x₁＜-12，
要使对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），只需x 2≤0，
即k-1≥0，∴k≥1，∴1≤k＜98
综上分析，实数k的最小值为1．
（Ⅲ）证明：因为当k=1时，有f'（x）≤kln（x+1）恒成立，即-x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立；
令x=1n，得1n≤1n2+ln(1n+1)=1n2+ln(n+1)-lnn．
∴1+12+13+…+1n≤1+122+132+…+1n2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln(n+1)-lnn)
=1+122+132+…+1n2+ln(n+1)
＜1+11×2+12×3+…+1(n-1)n+ln(n+1)
=2-1n+ln(n+1)＜2+ln(n+1)．
∴原不等式得证．

解析

92

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2在点（3.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。