已知a是实数，函数f(x)=x(x-a)求函数f的单调区间；设g为f在区间[0，2]上的最小值．写出g的表达式；（ii

题文

已知a是实数，函数f(x)=x(x-a)
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（i）写出g（a）的表达式；
（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解；（Ⅰ）函数的定义域为[0，+∞），f′(x)=x+x-a2x=3x-a2x（x＞0）．
若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得x=a3，当0＜x＜a3时，f'（x）＜0，
当x＞a3时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间[0，a3]，单调递增区间(a3，+∞)．
（Ⅱ）（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．
若0＜a＜6，f（x）在[0，a3]上单调递减，在(a3，2]上单调递增，
所以g(a)=f(a3)=-2a3a3．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以g(a)=f(2)=2(2-a)．
综上所述，g(a)=0              a≤0-2a3a3    0＜a＜62(2-a)   a≥6改天
（ii）令-6≤g（a）≤-2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得6≤a≤2+32．故a的取值范围为3≤a≤2+32．

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知a是实数，函数f(x)=x(x-a).....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。