几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|时，给出了下面几个结论：①函数f的值域为；②若x1≠x2，则一定有f≠f；③

题文

几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函数；④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N^*恒成立，
上述结论中正确的个数有______个． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①|x|＜1+|x|，故x1+|x|∈(-1，1)，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数f(x)=x1+|x|是一个奇函数，当x≥0时，f(x)=x1+x=1-11+x，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f(x)=x1+|x|（x∈R）是一个增函数，故若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），此命题正确；
③由②已证，故此命题正确；
④当n=1，f₁（x）=f（x）=x1+|x|，f2(x)=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|，假设n=k时，fk(x)=x1+k|x|成立，则n=k+1时，fk+1(x)=x1+k|x|1+ |x|1+k|x|=x1+(k+1)|x|成立，由数学归纳法知，此命题正确．
故答案为 4

解析

x1+|x|

考点

据考高分专家说，试题“几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）