已知二次函数f=x2-16x+p+3．若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数p的取值范围；问是否存在常数q，当x∈[q，10]时

题文

已知二次函数f（x）=x²-16x+p+3．
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q（q≥0），当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．（注：区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵二次函数f（x）=x²-16x+p+3的对称轴是x=8，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
则函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+p+3）（1-16+p+3）≤0，解得-20≤p≤12．
（2）假设存在常数q（q≥0）满足题意，分三种情况求
①当q＜88-q≥10-8q≥0时，即0≤q≤6时，
当x=8时，取到最小值f（8）；当x=q时，取到最大值f（q），
∴f（x）的值域为：[f（8），f（q）]，即[p-61，q²-16q+p+3]．
∴区间长度为q²-16q+p+3-（p-61）=q²-16q+64=12-q．
∴q²-15q+52=0，∴q=15±172，经检验q=15+172不合题意，舍去，故q=15-172．
②当q＜88-q＜10-8q≥0时，即6≤q＜8时，
当x=8时，取到最小值f（8）；当x=10时，取到最大值f（10），
∴f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[p-61，p-57]
∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-q，∴q=8．经检验q=8不合题意，舍去．
③当q≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增，
∴f（x）的值域为：[f（q），f（10）]，即[q²-16q+p+3，p-57]．
∴区间长度为p-57-（q²-16q+p+3）=-q²-16q-60=12-q，
∴q²-17q+72=0，∴q=8或q=9．经检验q=8或q=9满足题意．
综上知，存在常数q=8或q=9，q=15-172
当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．

解析

q＜88-q≥10-8q≥0

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2-16x+p+.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）