已知集合D={|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}，其中k为正常数若k=2，且u=x1⋅x2，求u的取值范围若k=2，且y=(1x1

题文

已知集合D={（ x₁，x₂）|x ₁＞0，x ₂＞0，x₁+x₂=k }，其中k为正常数
（1）若k=2，且u=x₁⋅x₂，求u的取值范围
（2）若k=2，且y=(1x1-x1)(1x2-x2)，求y的取值范围．
（3）设y1=(1x1-x1)(1x2-x2)，y2=(k2-2k)2，探究判断y₁和y₂的大小关系，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）x1x2≤(x1+x22)2=k24，当且仅当 x1=x2=k2时等号成立，
故u的取值范围为 (0，k24]．
当k=2时u的取值范围（0，1]；
（2）由于(1x1-x1)(1x2-x2)=1x1x2+x1x2-x1x2-x2x1=x1x2+1x1x2-x21+x22x1x2=x1x2-k2-1x1x2+2=u-k2-1u+2
由 0＜u≤k24，又k≥1，k²-1≥0，
∴在 (0，k24]上是增函数
所以 (1x1-x1)(1x2-x2)
=u-k2-1u+2≤k24-k2-1k24+2=k24-2+4k2=(2k-k2)2
即当k=2，y的取值范围是：（-∞，0）；
（3）由（2）可知 (1x1-x1)(1x2-x2)-(k2-2k)2=(x1-x2)2(4-k2x1x2-4k2)4k2x1x2，
要不等式恒成立，必须4-k²x₁x₂-4k²≥0恒成立
即 x1x2≤4-4k2k2恒成立
由 0＜x1x2≤k24得 k24≤4-4k2k2，即k⁴+16k²-16≤0，
解得 0＜k2≤45-8．
因此当0＜k2≤45-8时，y₁≥y₂；当k2＞45-8时，y₁＜y₂；

解析

x1+x22

考点

据考高分专家说，试题“已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）