题文
设函数f（x）=1(x+1)ln(x+1)（x＞-1且x≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）值域；
（3）已知12x+1＞（x+1）m对任意x∈（-1，0）恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f′（x）=-ln(x+1)+1(x+1)2ln(x+1)2，所以当f′（x）＞0，即ln（x+1）+1＜0，即ln（x+1）＜-1，所以x+1＜1e，即-1＜x＜1e-1，故函数在区间（-1，1e-1）内单调递增；
当f′（x）＜0，即1e-1＜x＜0或x＞0，所以函数在区间（1e-1，0）和（0，+∞）内单调减．
故函数的单调增区间为（-1，1e），单调减区间为（1e-1，0）和（0，+∞）．
（2）由f′（x）=-ln(x+1)+1(x+1)2ln(x+1)2=0可得x=1e-1，
由（1）可得f（x）在（-1，1e-1）内单调递增，在（1e-1，0）内单调减，
所以在区间（-1，0）上，当x=1e-1时，f（x）取得极大值即最大值为f（1e-1）=-e．
又因为当x从-1的右边靠近-1时，0＜x+1＜1，所以x→-1时f（x）→-∞；当x从0的左边靠近0时，f（x）→-∞；
所以当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-∞，-e]．
在区间（0，+∞）上f（x）是减函数，并且f（x）＞0，
当x从0的右边靠近0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，由函数的解析式可得f（x）→0．
所以当x∈（0，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．
故f（x）的值域为（-∞，-e]∪（0，+∞）
（3）∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，从而1＜1x+1，
由题意可得：12x+1＞（x+1）m对任意x∈（-1，0）恒成立，
所以两边取自然对数得：1x+1ln2＞mln(x+1)
所以m＞ln2(x+1)ln(x+1)，对x∈（-1，0）恒成立，则m大于ln2(x+1)ln(x+1)的最大值，
由（2）可得当x∈（-1，0）时，f（x）=1(x+1)ln(x+1)∈（-∞，-e]，
所以ln2(x+1)ln(x+1)取得最大值为-eln2，所以m＞-eln2．
所以实数m的取值范围为（-eln2，+∞）．
解析
ln(x+1)+1(x+1)2ln(x+1)2考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=1(x+1)ln(x+1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
