曲线P0，P1，P2，…，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作

题文

曲线P₀，P₁，P₂，…，已知P₀所围成的图形是面积为1的等边三角形，P_k+1是对P_k进行如下操作得到的：将P_k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，3，…），记S_n为曲线P_k所围成图形面积．
①求数列{S_n}的通项公式；
②求limn→∞Sn．



题型：未知 难度：其他题型

答案

①对P₀进行操作，可得P₀的每条边变成P₁的4条边，故P₁的边数为3×4；
同样，对P₁进行操作，P₁的每条边变成P₂的4条边，故P₂的边数为3×4²，从而得到P_n的边数为3×4ⁿ 
已知P₀的面积为S₀=1，比较P₁与P₀，可得P₁在P₀的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为132，而P₀有3条边，故S₁=S₀+3×132=1+13
再比较P₂与P₁，可得P₂在P₁的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为132×132，而P₁有3×4条边，故S₂=S₁+3×4×134=1+13+433
类似地有：S₃=S₂+3×4²×136=1+13+433+4235
∴S_n=1+13+433+4235+…+4n-132n-1=1+34n



k=1(49)k=85-35•(49)n（※）                          
下面用数学归纳法证明（※）式
当n=1时，由上面已知（※）式成立，
假设当n=k时，有S_k=85-35•(49)k，则当n=k+1时，可得第k+1次操作后，比较P_k+1与P_k，P_k+1在P_k的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为132(k+1)，而P_k有3×4^k条边．
故S_k+1=S_k+3×4^k×132(k+1)=85-35•(49)k+1
综上所述，对任何n∈N，（※）式成立．
②limn→∞Sn=limn→∞[85-35•(49)n]=85

解析

132

考点

据考高分专家说，试题“曲线P0，P1，P2，…，已知P0所围成.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。