已知数列{f}满足nf2-f2+ff=0且f＞0求{f}的通项公式；令an=31/f（n

题文

已知数列{f（n）}满足nf²（n）-（n-1）f²（n-1）+f（n）f（n-1）=0且f（n）＞0
（1）求{f（n）}的通项公式；
（2）令a_n=3^1/f（n），b_n=4/f（n）+1（n∈N^*），若在数列{a_n}的前100项中，任取一项a_n，问a_n同
时也在数列是的某项的概率为多少？为什么？
（3）若将（2）中的前100项推广到前n项（n∈N^*），且记上述概率为P_n，试猜测limn→∞Pn（不必证明）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知（nf（n）-（n-1）f（n-1））（f（n）+f（n-1））=0且f（n）＞0
∴nf（n）=（n-1）f（n-1），
∴nf（n）=（n-1）f（n-1）=…=1•f（1）=1∴f（n）=1n
（2）a_n=3ⁿ，b_n=4n+1，当n=2m，∴a_n=9^m=（8+1）^m=…=8Q+1=4（2Q）+1∈{b_n}
当n=2m+1，∴a_n=3（8+1）^m=…=4（6Q）+3∉{b_n}∴在{a_n}中前100项中，所求的概率P=50100=12
（3）∵Pn=12n-12n(n为偶数)(n为奇数)∴limn→∞Pn=12

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{f（n）}满足nf2（n）-（.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。