已知函数f=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f的值域为[a3，b3]，…，依此类推，一般地

题文

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足limn→∞bn=4．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₀）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．
（2）因为f（x）=kx+m（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2）
假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足limn→∞bn=4，则limn→∞bn=klimn→∞bn-1+2，
得4=4k+2，则k=12符合．
故存在k=12，使limn→∞bn=4
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
则b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）
又b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=（-k）^n-1
∴Tn-Sn=n                (k=-1) 1-(-k)n1+k  (k＜0，k≠-1)
进而有(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010)=2021055，(k=-1)2010+2011k-k2011(1+k)2，(k＜0，k≠-1)

解析

limn→∞

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。